معرفی و زندگینامه خیام نیشابوری
حجهالحق، حکیم ابوالفتح عمربن ابراهیم خیامى نیشابورى از حکما و ریاضیدانان و شاعران بزرگ ایران در اواخر قرن پنجم و اوایل قرن ششم است.
قدیمى‌ترین مأخذى که در آن از خیام نامى آمده چهار مقالهٔ نظامى عروضى است و خلاصهٔ سخن نظامى دربارهٔ وى آن است که: به سال ۵۰۶ در بلخ به خدمت خواجه امام عمر خیامى رسید و در میان مجلس عشرت از وى شنید که مى‌گفت ‘گور من در موضعى باشد که هر بهارى شمال بر من گل‌افشان مى‌کند’ و چون در سال ۶۳۰ به نیشابور رسید چند سال بود که از وفات او مى‌گذشت. و نیز دربارهٔ اختیار او در نجوم حکایتى دارد.
بعد از نظامى عروضى، ابوالحسن على بن زید بیهقى صاحب تتمه صوان‌الحکمه، که خود خیام را در ایام جوانى ملاقات کرده بود، شرحى مفصل دربارهٔ عمر بن ابراهیم خیام دارد. خلاصهٔ سخن وى دربارهٔ خیام چنین است: الدستور الفیلسوف حجهالحق الخیام در نیشابور ولادت یافته و نیاکان او هم از آن شهر بوده‌اند و او خود تالى ابوعلى در اجزاء علوم حکمت بود جز آنکه خوبى تند داشت، ذکاى او چندان بود که در اصفهان هفت بار کتابى را خواند و حفظ کرد و چون به نیشابور بازگشت آن را املاء نمود و بعد از آنکه املاء او را با نسخهٔ اصل مقابله کردند بین آنها تفاوت بسیار ندیدند. وى در تصنیف و تعلیم ضنت داشت و من از او تصنیفى ندیده‌ام مگر کتاب‌های: مختصر فى‌الطبیعیات، رساله فى‌الوجود، رساله فى‌الکون و التکلیف … اما در اجزاء حکمت از ریاضیات و معقولات آگاه‌ترین کسان بود. روزى امام حجهالاسلام محمدالغزالى نزد او رفت و از وى سؤالى در تعیین یک جزء از اجزاء قطبى فلک کرد. امام عمر در جواب او سخن را به درازا کشاند لیکن از خوض در موضع نزاع خوددارى کرد، و این خوى خیام بود، و به‌هرحال سخن او چندان طول کشید تا نیمروز فرا رسید و مؤذن بانگ نماز در داد. امام غزالى گفت: ‘جاء الحق و زهق‌الباطل!’ و از جاى برخاست.
روزى در ایام کودکى سنجر که وى را آبله دریافته بود، امام عمر به‌خدمت او رفت و بیرون آمد. وزیر مجیرالدوله از وى پرسید: او را چگونه یافتى و بچه چیز علاج کرده‌ای؟ امام گفت: این کودک مخوف است! خادم حبشى این سخن را بشنود و به سلطان رساند. چون سلطان از آبله برست بغض امام عمر را به سبب آن سخن در دل گرفت و هیچ‌گاه او را دوست نمى‌داشت در صورتى‌که سلطان ملکشاه او را در مقام ندما مى‌نشاند و خاقان شمس‌الملوک در بخارا بسیار بزرگ مى‌داشت و خیام با او بر تخت مى‌نشست. آنگاه بیهقى حکایتى از امام عمر مربوط به روزى که در خدمت ملکشاه نشسته بود و همچنین داستان نخستین ملاقات خود را با خیام و دو سؤالى که خیام دربارهٔ یکى از ابیات حماسه و یک موضوع ریاضى از او کرده بود، مى‌آورد و مى‌گوید: داماد خیام امام محمد‌البغدادى برایم حکایت کرده است که خیام با خلالى زرین دندان پاک مى‌کرد و سرگرم تأمل در الهیات شفا بود، چون به فصل واحد و کثیر رسید خلال را میان دو ورق نهاد و وصیت کرد و برخاست و نماز گزارد و هیچ نخورد و هیچ نیاشامید و چون نماز عشاء بخواند به سجده رفت و در آن حال مى‌گفت: خدایا بدان که من تو را چندانکه میسر بود شناختم، پس مرا بیامرز! زیرا شناخت تو براى من به منزلهٔ راهى است به سوى تو! و آنگاه مرد.
از جملهٔ مطالبى که در کتب بعدى دربارهٔ خیام آمده داستان معجول دوستى خیام و حسن صباح و خواجه نظام‌الملک از اوان کودکى و هم‌درسى نزد یک استاد است که نخست از کتاب سرگذشت سیدنا در کتاب جامع‌التواریخ رشیدالدین فضل‌الله نقل شده و از آن کتاب به کتب دیگرى از قبیل تاریخ گزیده و روضهالصفا و حبیب‌السیر و تذکرهٔ دولتشاه راه جسته است. اگرچه این هر سه بزرگ، معاصر یکدیگر بوده‌اند لیکن همشاگردى آنان بعید به نظر مى‌آید زیرا وفات خیام چنانکه خواهیم گفت در حدود سال‌ەاى ۵۰۹ یا ۵۱۷ یا سنین دیگر است که ذکر کرده‌اند و وفات حسن صباح در سال ۵۱۸ اتفاق افتاده و اگر این دو در کودکى با نظام‌الملک در نزد یک استاد درس مى‌خواندند مى‌بایست با خواجه همسال باشند و چون خواجه به سال ۴۰۸ ولادت یافته بود پس ناگزیر سن دو هم‌درس او هنگام وفات مى‌بایست به قریب یکصد و ده رسیده باشد و چنین امر غریب‌الاتفاقى در شرح حال این دو بزرگ به‌نظر نرسیده است.
خلاصهٔ سخن دربارهٔ خیام آن است که وى از مشاهیر حکما و منجمین و اطباء و ریاضیان و شاعران بوده است. معاصران او وى را در حکمت تالى بوعلى مى‌شمردند و در احکام نجوم قول او را مسلم مى‌داشتند و در کارهاى بزرگ علمى از قبیل ترتیب رصد و اصلاح تقویم و نظایر اینها به او رجوع مى‌کردند. براى حکیم سفرهائى به سمرقند و بلخ و هرات و اصفهان و حجاز ذکر کرده و گفته‌اند که با همهٔ فرزانگى مردى تندخوى بود و به سبب تفوّه به حقایق و اظهار حیرت و سرگشتگى در حقیقت احوال وجود و تردید در روزشمار و ترغیب به استفاده از لذایذ موجود و حال، و امثال این مسائل که همه خارج از حدود ذوق و درک مردم ظاهربین است، مورد کینهٔ علماء دینى بود. دربارهٔ او گفته‌اند که در تعلمى و تصنیف ضنّت داشت. ضنّت در تألیف نسبت بى‌معنائى به‌نظر مى‌آید، ولى بخل در تعلیم شاید بر اثر آن بود که حکیم شاگردى که شایستهٔ درک سخنان او باشد نمى‌یافت.
وفات خیام را غالباً در سنین ۵۰۹ (روایت تاریخ الفی) و ۵۱۷ نوشته‌اند. نظامى عروضى او را به‌سال ۵۰۶ (ست و خمسمائه) در شهر بلخ ملاقات کرده بود و بنابراین خیام تا سال ۵۰۶ زنده بود. عروضى در دنبال سخنان خود آورده است که چون به سال ۵۳۰ به نیشابور رسید چهار (ن: جند) سال بود تا آن بزرگ روى در نقاب خاک کشیده بود. اگر به نقل بعضى از نسخ که ‘چهارسال’ ضبط کردە‌اند اعتماد کنیم وفات استاد در حدود ۵۲۶ یا ۵۲۷ اتفاق افتاده بود و اگر چند سال صحیح باشد باید در یکى از سنین بین ۵۰۶ و ۵۳۰ فوت کرده باشد. برخى از محققان معاصر سال ۵۱۷ را براى تاریخ وفات خیام برگزیده‌اند.
خیام اشعارى به پارسى و تازى و کتاب‌هائى بدین دو زبان دارد. هنگام تحقیق در نثر پارسى این دوره، نامى از کتب منثور پارسى او هم به میان خواهد آمد. در اینجا باید دربارهٔ رباعیات خیام مختصرى بگوئیم:
دربارهٔ رباعیات خیام تحقیقات فراوانى به زبان پارسى و زبان‌هاى دیگر صورت گرفته است. استقبال بى‌نظیرى که از خیام و افکار او در جهان شده باعث گردیده است که این رباعیات به بسیارى از زبان‌ها ترجمه شود و بسى از این ترجمه‌ها با تحقیقاتى دربارهٔ احوال و آثار و افکار خیام همراه باشد. خاورشناسان نیز در این باب تحقیقات مختلف دارند. تحقیق مفصل و پردامنه دربارهٔ رباعیات خیام و نسخ مختلف قدیم و جدید آنها و اینکه کدام‌یک از آن همه رباعیات که به خیام نسبت مى‌دهند اصلى است و کدام منسوب و غیراصلی، در این مختصر ممکن نیست و باید به تحقیقاتى که به‌همین منظور شده است مراجعه کرد. بعضى از رباعیات خیام یا منسوب به او منشاء افسانه‌هائى شده است، و به سبب شهرتى که رباعى‌هاى فلسفى او هم از روزگار شاعر حاصل کرده بود، بسیارى از رباعى‌هاى فلسفى دیگر شاعران پارسى‌گوى به وى نسبت داده شده است و به‌همین سبب است که هرچه به دوره‌هاى اخیر نزدیک شویم عدد رباعیات منسوب به خیام بیشتر مى‌شود. اما رباعى‌هائى که بتوان گفت از او است بنابر دقیق‌ترین تحقیقات از میانهٔ ۱۵۰ تا ۲۰۰ رباعى تجاوز نمى‌کند. این رباعى‌ها بسیار ساده و بى‌آرایش و دور از تصنع و تکلف و با این‌حال مقرون به کمال فصاحت و بلاغت و شامل معانى عالى و جزیل در الفاظ موجز و استوار است. در این رباعى‌ها خیام افکار فلسفى خود را که غالباً در مطالبى از قبیل تحیر یک متفکر در برابر اسرار خلقت و تأثر ادیان معتقد هستند، قائل نیست و چون فناى فرزندان آدم را از مصائب جبران‌ناپذیر مى‌شمارد، مى‌خواهد این مصیبت آینده را با استفاده از لذات آنى جبران کند.
خیام رباعى‌هاى خود را غالباً در دنبال تفکرات فلسفى سروده و قصد او از ساختن آنها شاعرى و درآمدن در زیّ شعراء نبوده و به‌همین سبب وى در عهد خود شهرتى در شاعرى نداشته و به‌‌نام حکیم و فیلسوف شناخته مى‌شده است و بس. اما بعدها که رباعى‌هاى لطیف فیلسوفانهٔ وى شهرتى حاصل کرد نام او در شمار شاعران درآمد و بیشتر درین راه مشهور گردید و طریقهٔ او مقبول بعضى از شاعران قرار گرفت و بسیارى از آثار آنان در شمار گفته‌هاى خیام درآمد و رباعى‌هاى فیلسوفانهٔ معدود او فزونى یافت و در نسخ اخیر بالغ بر چند صد رباعى گردید.
عُمَر خَیّام نیشابوری (نام کامل: غیاث‌الدین ابوالفتح عُمَر بن ابراهیم خَیام نیشابوری) (زادهٔ ۲۸ اردیبهشت ۴۲۷ خورشیدی در نیشابور – درگذشته ۱۲ آذر ۵۱۰ خورشیدی در نیشابور)که خیامی و خیام نیشابوری و خیامی النیسابوریهم نامیده شده‌است، فیلسوف، ریاضیدان، ستاره‌شناس و رباعی سرای ایرانی در دورهٔ سلجوقی است. گرچه پایگاه علمی خیام برتر از جایگاه ادبی او است و لقبش «حجهالحق» بوده‌است؛ ولی آوازهٔ وی بیشتر به واسطهٔ نگارش رباعیاتش است که شهرت جهانی دارد. افزون بر آنکه رباعیات خیام را به اغلب زبان‌های زنده ترجمه نموده‌اند، ادوارد فیتزجرالدرباعیات او را به زبان انگلیسی ترجمه کرده‌است که مایهٔ شهرت بیشتر وی در مغرب‌زمین گردیده‌است.
یکی از برجسته‌ترین کارهای وی را می‌توان اصلاح گاهشماری ایران در زمان وزارت خواجه نظام‌الملک، که در دورهٔ سلطنت ملکشاه سلجوقی (۴۲۶ – ۴۹۰ هجری قمری) بود، دانست. وی در ریاضیات، علوم ادبی، دینی و تاریخی استاد بود. نقش خیام در حل معادلات درجه سوم و مطالعات‌اش دربارهٔ اصل پنجم اقلیدس نام او را به عنوان ریاضی‌دانی برجسته در تاریخ علم ثبت کرده‌است. ابداع نظریه‌ای دربارهٔ نسبت‌های هم‌ارز با نظریهٔ اقلیدس نیز از مهم‌ترین کارهای اوست.
شماری از تذکره‌نویسان، خیام را شاگرد ابن سینا و شماری نیز وی را شاگرد امام موفق نیشابوری خوانده‌اند.صحت این فرضیه که خیام شاگرد ابن سینا بوده‌است، بسیار بعید می‌نماید، زیرا از لحاظ زمانی با هم تفاوت زیادی داشته‌اند. خیام در جایی ابن سینا را استاد خود می‌داند اما این استادی ابن سینا، جنبهٔ معنوی دارد. منبع
فهرست مطالب
زندگی
عمر خیام در سده پنجم هجری در نیشابور زاده شد. فقه را در میانسالی در محضر امام موفق نیشابوری آموخت؛ حدیث، تفسیر، فلسفه، حکمت و ستاره‌شناسی را فراگرفت. برخی نوشته‌اند که او فلسفه را مستقیماً از زبان یونانی فرا گرفته بود.
در حدود ۴۴۹ تحت حمایت و سرپرستی ابوطاهر، قاضی‌القضات سمرقند، کتابی دربارهٔ معادله‌های درجهٔ سوم به زبان عربی نوشت تحت نام رساله فی البراهین علی مسائل الجبر و المقابله و از آن‌جاکه با نظام‌الملک طوسی رابطه‌ای نیکو داشت، این کتاب را پس از نگارش به خواجه تقدیم کرد. پس از این دوران خیام به دعوت سلطان جلال‌الدین ملکشاه سلجوقی و وزیرش نظام الملک به اصفهان می‌رود تا سرپرستی رصدخانهٔ اصفهان را به‌عهده گیرد. او هجده سال در آن‌جا مقیم می‌شود. به مدیریت او زیج ملکشاهی تهیه می‌شود و در همین سال‌ها (حدود ۴۵۸) طرح اصلاح تقویم را تنظیم می‌کند. تقویم جلالی را تدوین کرد که به نام جلال‌الدین ملکشاه شهره‌است، اما پس از مرگ ملکشاه کاربستی نیافت. در این دوران خیام به‌عنوان اختربین در دربار خدمت می‌کرد هرچند به اختربینی اعتقادی نداشت. در همین سال‌ها (۴۵۶) مهم‌ترین و تأثیرگذارترین اثر ریاضی خود را با نام رساله فی شرح مااشکل من مصادرات اقلیدسرا می‌نویسد و در آن خطوط موازی و نظریهٔ نسبت‌ها را شرح می‌دهد. همچنین گفته می‌شود که خیام هنگامی که سلطان سنجر، پسر ملکشاه در کودکی به آبله گرفتار بوده وی را درمان نموده‌است.پس از درگذشت ملکشاه و کشته شدن نظام‌الملک، خیام مورد بی‌مهری قرار گرفت و کمک مالی به رصدخانه قطع شد بعد از سال ۴۷۹ اصفهان را به قصد اقامت در مروکه به عنوان پایتخت جدید سلجوقیان انتخاب شده بود، ترک کرد. احتمالاً در آن‌جا میزان الحکم و قسطاس المستقیم را نوشت. رسالهٔ مشکلات الحساب (مسائلی در حساب) احتمالاً در همین سال‌ها نوشته شده‌است. غلامحسین مراقبی گفته‌است که خیام در زندگی زن نگرفت و همسر برنگزید.
مرگ خیام را میان سال‌های ۵۱۷-۵۲۰ هجری می‌دانند که در نیشابور اتفاق افتاد. گروهی از تذکره‌نویسان نیز وفات او را ۵۱۶ نوشته‌اند، اما پس از بررسیهای لازم مشخص گردیده که تاریخ وفات وی سال ۵۱۷ بوده‌است. مقبرهٔ وی هم اکنون در شهر نیشابور، در باغی که آرامگاه امامزاده محروق در آن واقع می‌باشد، قرار گرفته‌است.
شرایط دوران خیام
در زمان خیام فرقه‌های مختلف سنی و شیعه، اشعری و معتزلی سرگرم بحث‌ها و مجادلات اصولی و کلامی بودند. فیلسوفان پیوسته توسط قشرهای مختلف به کفر متهم می‌شدند. تعصب، بر فضای جامعه چنگ انداخته بود و کسی جرئت ابراز نظریات خود را نداشت – حتی امام محمد غزالی نیز از اتهام کفر در امان نماند. اگر به سیاست‌نامهٔ خواجه نظام‌الملک بنگریم، این اوضاع کاملاً بر ما روشن خواهد بود. در آن جا، خواجه نظام همهٔ معتقدان به مذهبی خلاف مذهب خود را به شدت می‌کوبد و همه را منحرف از راه حق و ملعون می‌داند. از نظر سیاست نیز وقایع مهمی در عصر خیام رخ داد:
- سقوط دولت آل بویه
- قیام دولتِ سلجوقی
- جنگ‌های صلیبی
- ظهور باطنیان
در اوایل دوران زندگی خیام، ابن سینا و ابوریحان بیرونی به اواخر عمر خود رسیده بودند. نظامی عروضی سمرقندی او را «حجه الحق» و ابوالفضل بیهقی «امام عصر خود» لقب داده‌اند. از خیام به عنوان جانشین ابن‌سینا و استاد بی‌بدیلِ فلسفه طبیعی (مادی) ریاضیات، منطق و متافیزیک یاد می‌کنند.
القاب
حکیم حجه الحق، خواجه، امام، الفیلسوف حجه الحق، خواجه امام، حکیم جهان و فیلسوف گیتی، الشیخ الامام، الشیخ الاجل حجه الحق، علامهٔ خواجه، قدوهٔ الفضل، سلطان العلماء، ملک الحکماء، امام خراسان، من اعیان المنجّمین، الحکیم الفاضل الاوحد، خواجهٔ حکیم، الحکیم الفاضل، نادرهٔ فلک، تالی ابن سینا، حکیم عارف به جمیع انواع حکمت به ویژه ریاضی، مسلط بر تمامی اجزای حکمت و ریاضیات و معقولات، در اکثر علوم خاصه در نجوم سرآمد زمان، فیلسوف الوقت، سیدالمحقّقین، ملک الحکماء، الادیب الاریب الخطیر، الفلکی الکبیر، حجه الحق والیقین، نصیرالحکمه و الدین، فیلسوف العالمین، نصره الدّین، الحیر الهمام، سیّدالحکماءالمشرق و المغرب، السیّدالاجل، فیلسوف العالم، به طور قطع در حکمت و نجوم بی‌همتا، علامهٔ دوران، بر دانش یونان مسلط و غیره.
دستاوردهای خیام
ریاضیات
س. ا. کانسوا گفته: «در تاریخ ریاضی سده‌های ۱۱ و ۱۲ و شاید هم بتوان گفت در تمام سده‌های میانه حکیم عمر خیام متولد نیشابور خراسان نقش عمده‌ای داشته‌است.»
پیش از کشف رساله خیام در جبر، شهرت او در مشرق‌زمین به واسطه اصلاحات سال و ماه ایرانی و در غرب به واسطه ترجمه رباعیاتش بوده‌است. اگر چه کارهای خیام در ریاضیات (به ویژه در جبر) به صورت منبع دست اول در بین ریاضیدانان اروپایی سدهٔ ۱۹ میلادی مورد استفاده نبوده‌است،می‌توان رد پای خیام را به واسطه طوسی در پیشرفت ریاضیات در اروپا دنبال کرد. قدیمی‌ترین کتابی که از خیام اسمی به میان آورده و نویسندهٔ آن هم‌دوره خیام بوده، نظامی عروضی مؤلف «چهار مقاله» است. ولی او خیام را در ردیف منجمین ذکر می‌کند و اسمی از رباعیات او نمی‌آورد.[۲۹] با این وجود جورج سارتن با نام بردن از خیام به عنوان یکی از بزرگ‌ترین ریاضیدانان قرون وسطی چنین می‌نویسد:
خیام اول کسی است که به تحقیق منظم علمی در معادلات درجات اول و دوم و سوم پرداخته، و طبقه‌بندی تحسین‌آوری از این معادلات آورده‌است، و در حل تمام صور معادلات درجه سوم منظماً تحقیق کرده، و به حل (در اغلب موارد ناقص) هندسی آنها توفیق یافته، و رساله وی در علم جبر، که مشتمل بر این تحقیقات است، معرف یک فکر منظم علمی است؛ و این رساله یکی از برجسته‌ترین آثار قرون وسطائی و احتمالاً برجسته‌ترین آنها در این علم است.— غلامحسین مصاحب، ۱۳۵
او نخستین کسی بود که نشان داد معادلهٔ درجهٔ سوم ممکن است دارای بیش از یک جواب باشد و یا این که اصلاً جوابی نداشته باشند.«آنچه که در هر حالت مفروض اتفاق می‌افتد بستگی به این دارد که مقاطع مخروطی‌ای که وی از آنها استفاده می‌کند در هیچ نقطه یکدیگر را قطع نکنند، یا در یک یا دو نقطه یکدیگر را قطع کنند.». گفته: «نخستین کسی بود که گفت معادلهٔ درجهٔ سوم را نمی‌توان عموماً با تبدیل به معادله‌های درجهٔ دوم حل کرد، اما می‌توان با بکار بردن مقاطع مخروطی به حل آن دست یافت.» همچنین گفته: «در مورد جبر، کار خیام در ابداع نظریهٔ هندسی معادلات درجهٔ سوم موفق‌ترین کاری است که دانشمندی مسلمان انجام داده‌است.».
یکی دیگر از آثار ریاضی خیام رساله فی شرح ما اشکل من مصادرات اقلیدس است. او در این کتاب اصل موضوعهٔ پنجم اقلیدس را دربارهٔ قضیهٔ خطوط متوازی که شالودهٔ هندسهٔ اقلیدسی است، مورد مطالعه قرار داد و اصل پنجم را اثبات کرد. به نظر می‌رسد که تنها نسخه کامل باقی‌مانده از این کتاب در کتابخانه لایدن در هلند قرار دارد. «در نیمهٔ اول سدهٔ هیجدهم، ساکری اساس نظریهٔ خود را دربارهٔ خطوط موازی بر مطالعهٔ همان چهارضلعی دوقائمهٔ متساوی‌الساقین که خیام فرض کرده بود قرار می‌دهد و کوشش می‌کند که فرضهای حاده و منفرجه‌بودن دو زاویهٔ دیگر را رد کند.»
درکتاب دیگری از خیام که اهمیت ویژه‌ای در تاریخ ریاضیات دارد رسالهٔ مشکلات الحساب (مسائلی در حساب) هرچند این رساله هرگز پیدا نشد اما خیام خود به این کتاب اشاره کرده‌است و ادعا می‌کند قواعدی برای بسط دوجمله‌ای 
کشف کرده و اثبات ادعایش به روش جبری در این کتاب است. بنابرین از دیگر دست‌آوردهای وی موفقیت در تعیین ضرایب بسط دو جمله‌ای (بینوم نیوتن) است که البته تا سده قبل نامکشوف مانده بود و به احترام سبقت وی بر اسحاق نیوتن در این زمینه در بسیاری از کتب دانشگاهی و مرجع این دو جمله‌ای‌ها «دو جمله‌ای خیام-نیوتن» نامیده می‌شوند. نوشتن این ضرایب به صورت منظم مثلث خیام-پاسکال را شکل می‌دهد که بیانگر رابطه‌ای بین این ضرایب است.
به هر حال قواعد این بسط تا 
توسط طوسی (که بیشترین تأثیر را از خیام گرفته) در کتاب «جوامع الحساب» آورده شده‌است.روش خیام در به دست آوردن ضرایب منجر به نام گذاری مثلث حسابی این ضرایب به نام مثلث خیام شد، انگلیسی زبان‌ها آن را به نام مثلث پاسکال می‌شناسند که البته خدشه‌ای بر پیشگامی خیام در کشف روشی جبری برای این ضرایب نیست.
ستاره‌شناسی
یکی از برجسته‌ترین کارهای وی را می‌توان اصلاح گاهشماری ایران در زمان وزارت خواجه نظام‌الملک، که در دورهٔ سلطنت ملکشاه سلجوقی (۴۲۶-۵۹۰ هجری قمری) بود، دانست. وی بدین منظور مدار گردش کره زمین به دور خورشید را تا ۱۶ رقم اعشار محاسبه نمود. اصلاح در ۲۵ فروردین ۴۵۸ هجری خورشیدی (۳ رمضان ۴۷۱ هجری قمری) انجام شد.
خیام در مقام ریاضیدان و ستاره شناس تحقیقات و تالیفات مهمی دارد. از جمله آنها رساله فی البراهین علی مسائل الجبر و المقابله است که در آن از جبر عمدتاً هندسی خود برای حل معادلات درجه سوم استفاده می‌کند. او معادلات درجه دوم را از روش‌های هندسی اصول اقلیدس حل می‌کند و سپس نشان می‌دهد که معادلات درجه سوم با قطع دادن مقاطع مخروطی با هم قابل حل هستند. برگن معتقد است که «هر کس که ترجمهٔ انگلیسی [جبر خیام] به توسط کثیر را بخواند استدلالات خیام را بس روشن خواهد یافت و، نیز، از نکات متعدد جالب توجهی در تاریخ انواع مختلف معادلات مطلع خواهد شد.» مسلم است که خیام در رساله‌هایش از وجود جواب‌های منفی و موهومی در معادلات آگاهی نداشته‌است و جواب صفر را نیز در نظر نمی‌گرفته است.
موسیقی
خیام به تحلیل ریاضی موسیقی نیز پرداخته‌است و در القول علی اجناس التی بالاربعاء مسالهٔ تقسیم یک چهارم را به سه فاصله مربوط به مایه‌های بی‌نیم‌پرده، با نیم‌پردهٔ بالارونده، و یک چهارم پرده را شرح می‌دهد.
ادبیات
خیام زندگی‌اش را به عنوان ریاضیدان و فیلسوفی شهیر سپری کرد، در حالی‌که معاصرانش از رباعیاتی که امروز مایه شهرت و افتخار او هستند بی‌خبر بودند. معاصران خیام نظیر نظامی عروضی یا ابوالحسن بیهقی از شاعری خیام یادی نکرده‌اند. صادق هدایت در این باره می‌گوید.
گویا ترانه‌های خیام در زمان حیاتش به واسطهٔ تعصب مردم مخفی بوده و تدوین نشده و تنها بین یکدسته از دوستان همرنگ و صمیمی او شهرت داشته یا در حاشیهٔ جنگ‌ها و کتب اشخاص باذوق بطور قلم‌انداز چند رباعی از او ضبط شده، و پس از مرگش منتشر گردیده .
قدیمی‌ترین کتابی که در آن از خیام شاعر یادی شده‌است، کتاب خریده القصر از عمادالدین کاتب اصفهانی است. این کتاب به زبان عربی و در سال ۵۷۲ یعنی نزدیک به ۵۰ سال پس از مرگ خیام نوشته شده‌است. کتاب دیگر مرصادالعباد نجم‌الدین رازی است. این کتاب حدود ۱۰۰ سال پس از مرگ خیام در ۶۲۰ قمری تصنیف شده‌است نجم‌الدین صوفی متعصبی بوده که از نیش و کنایه به خیام به خاطر افکار کفرآمیزش دریغ نکرده‌است. کتاب‌های قدیمی (پیش از سدهٔ نهم) که اشعار خیام در آنها آمده‌است و مورد استفادهٔ مصححان قرار گرفته‌اند علاوه بر مرصادالعباد از قرار زیرند: تاریخ جهانگشا (۶۵۸ ق)، تاریخ گزیدهٔ حمدالله مستوفی (۷۳۰ ق)، نزهه المجالس (۷۳۱ ق)، مونس الاحرار (۷۴۱ ق). جنگی از منشآت و اشعار که سعید نفیسی در کتابخانهٔ مجلس شورای ملی جنگ یافت و در سال ۷۵۰ قمری کتابت شده‌است و همچنین مجموعه‌ای تذکره‌مانند که قاسم غنی در کتابخانهٔ شورای ملی یافت که مشتمل بر منتخابت اشعار سی شاعر است و پنج رباعی از خیام دارد.
با کنار گذاشتن رباعایت تکراری ۵۷ رباعی به دست می‌آید. این ۵۷ رباعی که تقریباً صحت انتساب آنها به خیام مسلم است کلیدی برای تصحیح و شناختن سره از ناسره به دست مصححان می‌دهد. با کمک این رباعی‌ها زبان شاعر و مشرب فلسفی وی تا حد زیادی آشکار می‌شود. زبان خیام در شعر طبیعی و ساده و از تکلف به دور است و در شعر پیرو کسی نیست. وانگهی هدف خیام از سرودن رباعی شاعری به معنی متعارف نبوده‌است بلکه به واسطهٔ داشتن ذوق شاعری نکته‌بینی‌های فلسفی خود را در قالب شعر بیان کرده‌است
آثار
خیام آثار علمی و ادبی بسیاری تالیف کرده‌است.
او میزان الحکمت را درباره فیزیک و لوازم الامکنت را در دانش هواشناسی نوشت. نوروزنامه دیگر اثر ادبی اوست، در پدیداری نوروز و آیین پادشاهان ایرانی و اسب و زر و قلم و شراب که در حدود ۴۹۵ هجری قمری نگاشته شده‌است. کتاب جبر و مقابله خیام با تلاش دانش پژوهان اروپایی در سال ۱۷۴۲ در یکی از کتابخانه‌های لیدن یافته شد. این کتاب در ۱۸۱۵ توسط تنی چند از دانشمندان فرانسوی ترجمه و منشر شد .
- رساله فی البراهین علی مسائل الجبر و المقابله به زبان عربی، در بارهٔ معادلات درجهٔ سوم.
- رساله فی شرح مااشکل من مصادرات کتاب اقلیدس در مورد خطوط موازی و نظریهٔ نسبت‌ها.
- رساله میزان‌الحکمه.«راه‌حل جبری مسالهٔ تعیین مقادیر طلا و نقره را در آمیزه (آلیاژ) معینی به وسیلهٔ وزنهای مخصوص بدست می‌دهد.»
- قسطاس المستقیم
- رسالهٔ مسائل الحساب، این اثر باقی نمانده‌است.
- القول علی اجناس التی بالاربعاء، اثری دربارهٔ موسیقی.
- رساله کون و تکلیف به عربی درباره حکمت خالق در خلق عالم و حکمت تکلیف که خیام آن را در پاسخ پرسش امام ابونصر محمدبن ابراهیم نسوی در سال ۴۷۳ نوشته‌است و او یکی از شاگردان پورسینا بوده و در مجموعه جامع البدایع باهتمام سید محی الدین صبری بسال ۱۲۳۰ و کتاب خیام در هند به اهتمام سلیمان ندوی سال ۱۹۳۳ میلادی چاپ شده‌است.
- رساله روضهالقلوب در کلیات وجود
- رساله ضیاء العلی
- رساله‌ای در صورت و تضاد
- ترجمه خطبه ابن سینا
- رساله‌ای در صحت طرق هندسی برای استخراج جذر و کعب
- رساله مشکلات ایجاب
- رساله‌ای در طبیعیات
- رساله‌ای در بیان زیگ ملکشاهی
- رساله نظام الملک در بیان حکومت
- رساله لوازم‌الاکمنه
- اشعار عربی خیام که در حدود ۱۹ رباعی آن بدست آمده‌است.
- نوروزنامه، از این کتاب دو نسخه خطی باقی‌مانده‌است. یکی نسخهٔ لندن و دیگری نسخه برلن.
- رباعیات خیام به زبان فارسی که در حدود ۲۰۰ چارینه (رباعی) یا بیشتر از حکیم عمر خیام است و زائد بر آن مربوط به خیام نبوده بلکه به خیام نسبت داده شده.
- عیون الحکمه
- رساله معراجیه
- رساله در علم کلیات
- رساله در تحقیق معنی وجود
مطالعه بیشتر در منابع زیر
رباعیات خیاممثلث خیام-پاسکالچهارضلعی خیام-ساکریآرامگاه خیامدانش در ایرانافلاک نمای عمر خیام